[next] [prev] [prev-tail] [tail] [up]

3.176 \(\int (d \cos (e+f x))^m (a+b \tan ^2(e+f x))^p \, dx\)

Optimal. Leaf size=108 \[ \frac {\tan (e+f x) \sec ^2(e+f x)^{m/2} (d \cos (e+f x))^m \left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )^p \left (\frac {b \tan ^2(e+f x)}{a}+1\right )^{-p} F_1\left (\frac {1}{2};\frac {m+2}{2},-p;\frac {3}{2};-\tan ^2(e+f x),-\frac {b \tan ^2(e+f x)}{a}\right )}{f} \]

[Out]

AppellF1(1/2,1+1/2*m,-p,3/2,-tan(f*x+e)^2,-b*tan(f*x+e)^2/a)*(d*cos(f*x+e))^m*(sec(f*x+e)^2)^(1/2*m)*tan(f*x+e
)*(a+b*tan(f*x+e)^2)^p/f/((1+b*tan(f*x+e)^2/a)^p)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.14, antiderivative size = 108, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 4, number of rules used = 4, integrand size = 25, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.160, Rules used = {3669, 3679, 430, 429} \[ \frac {\tan (e+f x) \sec ^2(e+f x)^{m/2} (d \cos (e+f x))^m \left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )^p \left (\frac {b \tan ^2(e+f x)}{a}+1\right )^{-p} F_1\left (\frac {1}{2};\frac {m+2}{2},-p;\frac {3}{2};-\tan ^2(e+f x),-\frac {b \tan ^2(e+f x)}{a}\right )}{f} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(d*Cos[e + f*x])^m*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p,x]

[Out]

(AppellF1[1/2, (2 + m)/2, -p, 3/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)]*(d*Cos[e + f*x])^m*(Sec[e + f*x]^
2)^(m/2)*Tan[e + f*x]*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(f*(1 + (b*Tan[e + f*x]^2)/a)^p)

Rule 429

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Simp[a^p*c^q*x*AppellF1[1/n, -p,
 -q, 1 + 1/n, -((b*x^n)/a), -((d*x^n)/c)], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n, p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[n
, -1] && (IntegerQ[p] || GtQ[a, 0]) && (IntegerQ[q] || GtQ[c, 0])

Rule 430

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_))^(q_), x_Symbol] :> Dist[(a^IntPart[p]*(a + b*x^n)^F
racPart[p])/(1 + (b*x^n)/a)^FracPart[p], Int[(1 + (b*x^n)/a)^p*(c + d*x^n)^q, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n,
p, q}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[n, -1] &&  !(IntegerQ[p] || GtQ[a, 0])

Rule 3669

Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(m_)*((a_) + (b_.)*((c_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_), x_Symbol] :
> Dist[(d*Cos[e + f*x])^FracPart[m]*(Sec[e + f*x]/d)^FracPart[m], Int[(a + b*(c*Tan[e + f*x])^n)^p/(Sec[e + f*
x]/d)^m, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] &&  !IntegerQ[m]

Rule 3679

Int[((d_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((a_) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{ff
= FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Dist[(ff*(d*Sec[e + f*x])^m)/(f*(Sec[e + f*x]^2)^(m/2)), Subst[Int[(1 + ff^2*
x^2)^(m/2 - 1)*(a + b*ff^2*x^2)^p, x], x, Tan[e + f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, p}, x] &&  !Intege
rQ[m]

Rubi steps

\begin {align*} \int (d \cos (e+f x))^m \left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )^p \, dx &=\left ((d \cos (e+f x))^m \left (\frac {\sec (e+f x)}{d}\right )^m\right ) \int \left (\frac {\sec (e+f x)}{d}\right )^{-m} \left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )^p \, dx\\ &=\frac {\left ((d \cos (e+f x))^m \sec ^2(e+f x)^{m/2}\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \left (1+x^2\right )^{-1-\frac {m}{2}} \left (a+b x^2\right )^p \, dx,x,\tan (e+f x)\right )}{f}\\ &=\frac {\left ((d \cos (e+f x))^m \sec ^2(e+f x)^{m/2} \left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )^p \left (1+\frac {b \tan ^2(e+f x)}{a}\right )^{-p}\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \left (1+x^2\right )^{-1-\frac {m}{2}} \left (1+\frac {b x^2}{a}\right )^p \, dx,x,\tan (e+f x)\right )}{f}\\ &=\frac {F_1\left (\frac {1}{2};\frac {2+m}{2},-p;\frac {3}{2};-\tan ^2(e+f x),-\frac {b \tan ^2(e+f x)}{a}\right ) (d \cos (e+f x))^m \sec ^2(e+f x)^{m/2} \tan (e+f x) \left (a+b \tan ^2(e+f x)\right )^p \left (1+\frac {b \tan ^2(e+f x)}{a}\right )^{-p}}{f}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [B]  time = 16.88, size = 2033, normalized size = 18.82 \[ \text {Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[(d*Cos[e + f*x])^m*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p,x]

[Out]

(3*a*AppellF1[1/2, (2 + m)/2, -p, 3/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)]*(d*Cos[e + f*x])^m*(Sec[e + f
*x]^2)^(-1 - m/2)*Tan[e + f*x]*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^(2*p))/(f*(3*a*AppellF1[1/2, (2 + m)/2, -p, 3/2, -Tan[e
+ f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)] + (2*b*p*AppellF1[3/2, (2 + m)/2, 1 - p, 5/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e +
 f*x]^2)/a)] - a*(2 + m)*AppellF1[3/2, (4 + m)/2, -p, 5/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)])*Tan[e +
f*x]^2)*((6*a*b*p*AppellF1[1/2, (2 + m)/2, -p, 3/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)]*Tan[e + f*x]^2*(
a + b*Tan[e + f*x]^2)^(-1 + p))/((Sec[e + f*x]^2)^(m/2)*(3*a*AppellF1[1/2, (2 + m)/2, -p, 3/2, -Tan[e + f*x]^2
, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)] + (2*b*p*AppellF1[3/2, (2 + m)/2, 1 - p, 5/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)
/a)] - a*(2 + m)*AppellF1[3/2, (4 + m)/2, -p, 5/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)])*Tan[e + f*x]^2))
 + (3*a*AppellF1[1/2, (2 + m)/2, -p, 3/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)]*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/
((Sec[e + f*x]^2)^(m/2)*(3*a*AppellF1[1/2, (2 + m)/2, -p, 3/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)] + (2*
b*p*AppellF1[3/2, (2 + m)/2, 1 - p, 5/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)] - a*(2 + m)*AppellF1[3/2, (
4 + m)/2, -p, 5/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)])*Tan[e + f*x]^2)) + (6*a*(-1 - m/2)*AppellF1[1/2,
 (2 + m)/2, -p, 3/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)]*(Sec[e + f*x]^2)^(-1 - m/2)*Tan[e + f*x]^2*(a +
 b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(3*a*AppellF1[1/2, (2 + m)/2, -p, 3/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)] + (2*b*
p*AppellF1[3/2, (2 + m)/2, 1 - p, 5/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)] - a*(2 + m)*AppellF1[3/2, (4
+ m)/2, -p, 5/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)])*Tan[e + f*x]^2) + (3*a*(Sec[e + f*x]^2)^(-1 - m/2)
*Tan[e + f*x]*((2*b*p*AppellF1[3/2, (2 + m)/2, 1 - p, 5/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)]*Sec[e + f
*x]^2*Tan[e + f*x])/(3*a) - ((2 + m)*AppellF1[3/2, 1 + (2 + m)/2, -p, 5/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^
2)/a)]*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/3)*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p)/(3*a*AppellF1[1/2, (2 + m)/2, -p, 3/2, -Tan[e
 + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)] + (2*b*p*AppellF1[3/2, (2 + m)/2, 1 - p, 5/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e
+ f*x]^2)/a)] - a*(2 + m)*AppellF1[3/2, (4 + m)/2, -p, 5/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)])*Tan[e +
 f*x]^2) - (3*a*AppellF1[1/2, (2 + m)/2, -p, 3/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)]*(Sec[e + f*x]^2)^(
-1 - m/2)*Tan[e + f*x]*(a + b*Tan[e + f*x]^2)^p*(2*(2*b*p*AppellF1[3/2, (2 + m)/2, 1 - p, 5/2, -Tan[e + f*x]^2
, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)] - a*(2 + m)*AppellF1[3/2, (4 + m)/2, -p, 5/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)
/a)])*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x] + 3*a*((2*b*p*AppellF1[3/2, (2 + m)/2, 1 - p, 5/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan
[e + f*x]^2)/a)]*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(3*a) - ((2 + m)*AppellF1[3/2, 1 + (2 + m)/2, -p, 5/2, -Tan[e +
f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)]*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/3) + Tan[e + f*x]^2*(2*b*p*((-6*b*(1 - p)*Appell
F1[5/2, (2 + m)/2, 2 - p, 7/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)]*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(5*a) -
(3*(2 + m)*AppellF1[5/2, 1 + (2 + m)/2, 1 - p, 7/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)]*Sec[e + f*x]^2*T
an[e + f*x])/5) - a*(2 + m)*((6*b*p*AppellF1[5/2, (4 + m)/2, 1 - p, 7/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)
/a)]*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/(5*a) - (3*(4 + m)*AppellF1[5/2, 1 + (4 + m)/2, -p, 7/2, -Tan[e + f*x]^2, -(
(b*Tan[e + f*x]^2)/a)]*Sec[e + f*x]^2*Tan[e + f*x])/5))))/(3*a*AppellF1[1/2, (2 + m)/2, -p, 3/2, -Tan[e + f*x]
^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)] + (2*b*p*AppellF1[3/2, (2 + m)/2, 1 - p, 5/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^
2)/a)] - a*(2 + m)*AppellF1[3/2, (4 + m)/2, -p, 5/2, -Tan[e + f*x]^2, -((b*Tan[e + f*x]^2)/a)])*Tan[e + f*x]^2
)^2))

________________________________________________________________________________________

fricas [F]  time = 0.49, size = 0, normalized size = 0.00 \[ {\rm integral}\left ({\left (b \tan \left (f x + e\right )^{2} + a\right )}^{p} \left (d \cos \left (f x + e\right )\right )^{m}, x\right ) \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*cos(f*x+e))^m*(a+b*tan(f*x+e)^2)^p,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((b*tan(f*x + e)^2 + a)^p*(d*cos(f*x + e))^m, x)

________________________________________________________________________________________

giac [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int {\left (b \tan \left (f x + e\right )^{2} + a\right )}^{p} \left (d \cos \left (f x + e\right )\right )^{m}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*cos(f*x+e))^m*(a+b*tan(f*x+e)^2)^p,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((b*tan(f*x + e)^2 + a)^p*(d*cos(f*x + e))^m, x)

________________________________________________________________________________________

maple [F]  time = 2.81, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \left (d \cos \left (f x +e \right )\right )^{m} \left (a +b \left (\tan ^{2}\left (f x +e \right )\right )\right )^{p}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((d*cos(f*x+e))^m*(a+b*tan(f*x+e)^2)^p,x)

[Out]

int((d*cos(f*x+e))^m*(a+b*tan(f*x+e)^2)^p,x)

________________________________________________________________________________________

maxima [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int {\left (b \tan \left (f x + e\right )^{2} + a\right )}^{p} \left (d \cos \left (f x + e\right )\right )^{m}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*cos(f*x+e))^m*(a+b*tan(f*x+e)^2)^p,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((b*tan(f*x + e)^2 + a)^p*(d*cos(f*x + e))^m, x)

________________________________________________________________________________________

mupad [F]  time = 0.00, size = -1, normalized size = -0.01 \[ \int {\left (d\,\cos \left (e+f\,x\right )\right )}^m\,{\left (b\,{\mathrm {tan}\left (e+f\,x\right )}^2+a\right )}^p \,d x \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((d*cos(e + f*x))^m*(a + b*tan(e + f*x)^2)^p,x)

[Out]

int((d*cos(e + f*x))^m*(a + b*tan(e + f*x)^2)^p, x)

________________________________________________________________________________________

sympy [F(-1)]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \text {Timed out} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*cos(f*x+e))**m*(a+b*tan(f*x+e)**2)**p,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]